Un padre no puede "retirar" su apellido de los nombres de un hijo, pero el nuevo esposo de su madre sí lo puede adoptar

Tengo dos niños de 6 y 4 años. Su padre biológico me manifestó que está de
acuerdo con quitarles su apellido. Yo tengo un nuevo compromiso, y él los ha
criado como si fueran sus hijos, es más, ellos no conocen otro padre que no
sea él. Mi pregunta es, aún no me he casado con él. ¿Mis hijos pueden llevar
su apellido? ¿Qué trámite debo seguir?